Monday, May 10, 2010

> Model Matematika

Sistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika.  Permasalahan yang Anda hadapi dalam kehidupan sehari-hari adalah masalah nyata, bukan masalah yang langsung berbentuk angka ataupun hitungan-hitungan matematika. Masalah nyata yang akan Anda selesaikan ataupun dicari solusinya, dapat Anda temukan dalam berbagai bidang. 

Misalnya, dalam menjalani proses produksi pada suatu perusahaan, pastilah tersedia bahan baku, tenaga kerja, mesin, dan sarana produksi lainnya. Seorang pengusaha harus memperhitungkan semua faktor yang ada supaya perusahaannya dapat meminimumkan biaya produksi dan memaksimumkan keuntungan yang diperoleh.  Program linear dapat digunakan untuk menyelesaikan masalahmasalah tersebut. Akan tetapi, masalah-masalah tersebut terlebih dahulu harus diterjemahkan ke dalam bahasa matematika sampai ke tingkat yang paling sederhana. 

Proses menterjemahkan masalah nyata ke dalam bahasa matematika dinamakan pemodelan matematika.  Supaya memahami proses pemodelan matematika tersebut, pelajarilah uraian berikut. Misalkan seorang agen sepeda ingin membeli paling banyak 25 buah sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda model biasa dengan harga Rp1.200.000,00/buah dan sepeda model sport dengan harga Rp1.600.000,00/buah. 

Ia mempunyai modal Rp33.600.000,00. Ia berharap memperoleh untung Rp200.000,00 untuk setiap sepeda biasa dan Rp240.000,00 untuk setiap sepeda sport. Jika Anda diminta untuk memodelkan masalah ini, dengan harapan agen sepeda tersebut mendapatkan keuntungan maksimum, dapatkah Anda membantunya?  Untuk memodelkan permasalahan tersebut, langkah pertama dimulai dengan melakukan pemisalan. 

Pada permasalahan tersebut, ada 2 model sepeda yang ingin dibeli oleh agen, yaitu sepeda biasa dan sepeda sport. Misalkan banyaknya sepeda biasa yang dibeli adalah x buah dan banyaknya sepeda sport yang dibeli adalah y buah. Oleh karena keuntungan yang diharapkan dari sepeda biasa dan sport berturut-turut adalah Rp200.000,00 dan Rp240.000,00 maka keuntungan yang mungkin diperoleh agen tersebut ditentukan oleh z = f(x, y) = 200.000x + 240.000y 

Fungsi z = f(x, y) tersebut dinamakan sebagai fungsi objektif (fungsi tujuan). Dari permasalahan yang ada, diinginkan untuk memaksimumkan
keuntungan yang didasarkan pada kondisi-kondisi yang ada (kendala).
Setiap kendala yang ada, bentuknya berupa pertidaksamaan. Fungsi kendala dari permasalahan agen sepeda tersebut ditentukan sebagai berikut:
• Banyaknya sepeda yang akan dibeli oleh agen tersebut x + y ≤ 25
• Besarnya modal yang dimiliki agen sepeda 1.200.000x + 1.600.000y ≤ 33.600.000
15x + 20y ≤ 42
• Banyaknya sepeda yang dibeli tentu tidak mungkin negatif sehingga nilai x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Dengan demikian, terbentuklah model matematika berikut. z = f(x, y) = 200.00x + 240.000y
Tujuannya memaksimumkan fungsi tujuan yang didasarkan pada kondisi
x + y ≤ 25
15x + 20y ≤ 42
x ≥ 0
y ≥ 0

Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari.

Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.

Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut.
Pada mesin I : 2x + 5y < 800 …. Persamaan 1
Pada mesin II : 8x + 4y < 800 .… Persamaan 2
Pada mesin III : 10 x < 800 .… Persamaan 3
x, y bilangan asli : x > 0, y > 0 .… Persamaan 4

Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan adalah f(x, y) = 40.000x + 30.000y. Dalam merumuskan masalah tersebut,
PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear.

Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

No comments:

Post a Comment