Monday, May 10, 2010

> Kaidah Pencacahan

1. Aturan Perkalian 
Misalkan, dari 3 orang siswa, yaitu Algi, Bianda, dan Cahyadi akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, sekretaris, dan bendahara dengan aturan bahwa seseorang tidak boleh merangkap jabatan pengurus kelas.

2. Faktorial 
Anda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara. Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca 3 faktorial). Jadi, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 Dengan penalaran yang sama 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24 
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 120 
6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720  

3. Permutasi 
Dalam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipili 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah A, B, C, dan D. 


Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidat adalah 4 × 3 × 2 = 24 cara.  Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.  
a. Permutasi Beberapa Unsur yang Sama Pada kata "BUKU" terdapat dua huruf yang sama, yaitu U. Permutasi huruf-huruf pada kata "BUKU" dapat Anda amati pada diagram pohon di samping. 

Coba Anda buat diagram pohon untuk huruf-huruf: U, K, dan U. Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram pohon tersebut adalah sebagai berikut. 1. BUKU 6. BUUK 11. UBUK 16. KBUU 21. UUBK 2. BUUK 7. UKBU 12. UBKU 17. KUUB 22. UUKB 3. BKUU 8. UKUB 13. KUBU 18. KUBU 23. UKBU 4. BKUU 9. UUBK 14. KUUB 19. UBUK 24. UKUB 5. BUKU 10. UUKB 15. KBUU 20. 

UBKU Amatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak ada beberapa susunan huruf yang sama sehingga permutasinya menjadi: 1. BUKU 4. UKBU 7. UUKB 10. KUBU 2. BUUK 5. UKUB 8. UBUK 11. KUUB 3. BKUU 6. UUBK 9. UBKU 12. KBUU Banyak permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU” adalah 12 atau 12 = 4 × 3 =  4x 3x 2x 1 =  4! .......................................2 x 1.........2!  Sekarang, selidikilah permutasi untuk kata MAMA dengan menggunakan diagram pohon. Jika Anda melakukan dengan benar, terdapat 6 permutasi yang berbeda, yaitu MAMA, MAAM, MMAA, AMMA, AMAM, dan AAMM, karena kata “MAMA” mempunyai dua pasang huruf yang sama.  

b. Permutasi Siklis Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasi siklis. Pada Gambar 2.6 posisi 1 dan posisi 2 menunjukkan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam.

Sementara, satu unsur yang lainnya ditempatkan dalam 1! cara atau (2 – 1)! cara. Agar Anda lebih memahami permutasi siklis, pelajari uraian berikut ini. Misalkan, dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar.  Dengan cara yang sama, Anda dapat membuat formasi lingkaran untuk titik pangkal B, C, dan D. Hasil dari seluruh formasi lingkaran tersebut adalah sebagai berikut. 
1. ABCD 7. BACD 13. CABD 19. DABC 
2. ABDC 8. BADC 14. CADB 20. DACB 
3. ACBD 9. BCAD 15. CBAD 21. DBAC 
4. ACDB 10. BCDA 16. CBDA 22. DBCA 
5. ADBC 11. BDAC 17. CDAB 23. DCAB 
6. ADCB 12. BDCA 18. CDBA 24. DCBA 
Amati bahwa ada susunan-susunan yang sama, yaitu 
ABCD =BCDA =CDAB =DABC ACDB =BACD =CDBA = DBAC 
ABDC =BDCA = CABD =DCAB ADBC = BCAD =CADB =DBCA 
ACBD = BDAC = CBDA = DACB ADCB = BADC = CBAD = DCBA 
Dengan demikian, dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda, yaitu ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, dan ADCB. Jadi, banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6.  

Pada permutasi siklis dari 4 unsur, ditetapkan satu unsur sebagai titik pangkal, kemudian 3 unsur lainnya ditempatkan dalam 3! cara atau (4 – 1)! cara. Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara. Susunan manik-manik pada kalung mirip susunan melingkar, tetapi berbeda dengan permutasi siklis. Pada permutasi siklis, arah putaran diperhatikan, sedangkan pada susunan manik-manik dalam kalung arah putaran tidak diperhatikan  

4. Kombinasi 
Pada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang dari 5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lain halnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat diterangkan sebagai berikut. 

Dari Subbab A.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsur dari 5 unsur, yaitu 
ABC ADE BCD CAB CDE DBC EAB ECD 
ABD AEB BCE CAD CEA DBE EAC EDA 
ABE AEC BDA CAE CEB DCA EAD EDB 
ACB AED BDC CBA CED DCB EBA EDC 
ACD BAC BDE CBD DAB DCE EBC ACE 
BAD BEA CBE DAC DEA EBD ADB BAE 
BEC CDA DAE DEB ECA ADC BCA BED 
CDB DBA DEC ECB 
Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan itu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan tersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, dan CDE. Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebut kombinasi. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian kombinasi? Cobalah nyatakan pengertian kombinasi dengan kata-kata Anda sendiri.  

a. Menentukan Banyak Kombinasi

b. Binomial Newton Di SMP Anda telah mempelajari cara menjabarkan bentuk perpangkatan berikut. 
(a + b)0 = 1 
(a + b)1 = a + b 
(a + b)2 = a2+ 2ab + b2 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
(a + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
Untuk pangkat 4, Anda masih dapat menjabarkannya. 
Bagaimana menjabarkan (a+b)15? Untuk menyelesaikannya Anda memerlukan rumus umum bentuk perpangkatan tersebut.  Amati dengan saksama koefisien-koefisien bentukbentuk perpangkatan tersebut. Apabila koefisien-koefisien dari bentuk perpangkatan dituliskan dalam bentuk diagram, diperoleh 
1
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1
1 4 6 4 1 dan seterusnya.

No comments:

Post a Comment

Post a Comment